Multiplier ideals in two-dimensional local rings with rational singularities

Abstract

[EN]: The aim of this memoir is to study multiplier ideals in two-dimensional local rings having at worst rational singularities. We also want to extend this study to the case of mixed multiplier ideals. The main achievements in the memoir are the following. We introduce a new method to compute the antinef closure of any given divisor, generalizing previous versions of Casas-Alvero [CA00] and Reguera [Reg97]. We reveal which information encoded in a multiplier ideal determines the next jumping number. This leads to an algorithm to compute sequentially the jumping numbers and the whole chain of multiplier ideals in any desired range. As a consequence of our method, we develop the notion of jumping divisor that allows to describe the jump between two consecutive multiplier ideals. In particular, we find unique minimal and maximal jumping divisors that are studied extensively.We study the multiplicities of jumping numbers of m-primary ideals. The formula we provide for the multiplicities leads to a very simple and efficient method to detect whether a given rational number is a jumping number. We also give an explicit description of the Poincaré series of multiplier ideals associated to any ideal, proving, that it is a rational function. The results obtained above are generalized to the case of mixed multiplier ideals. More precisely, we present a method to compute the jumping walls and the different mixed multiplier ideals in any compact of Rr >0. This method is implemented as an algorithm that computes the jumping walls for a given family of ideals. We also generalize the notion of jumping divisor and we endow the jumping walls with a notion of multiplicity.

[DE]: Het doel van dit proefschrift is het bestuderen van multiplieridealen in een tweedimensionale lokale ring met een rationale singulariteit. We willen ook de resultaten hierover uitbreiden naar de studie van de gemengde multiplieridealen. De belangrijkste resultaten van dit proefschrift zijn de volgende. We introduceren een nieuwe methode om de antinefsluiting van een zekere divisor te berekenen. Hiermee veralgemenen we vorige versies van Casas-Alvero [CA00] en Reguera [Reg97]. We onthullen welke informatie, gecodeerd in een multiplierideaal, het volgende jumpinggetal bepaalt. Dit leidt tot een algoritme dat een voor een de jumpinggetallen in elk gewenst bereik berekent. Als gevolg van onze werkwijze ontwikkelen we de notie van jumpingdivisor, hetgeen ons toestaat de sprong tussen twee opeenvolgende multiplieridealen te beschrijven. In het bijzonder vinden we unieke minimale en maximale jumpingdivisoren, die uitgebreid worden bestudeerd. We bestuderen ook de multipliciteiten van jumpinggetallen van m-primaire idealen. De formule die we opstellen voor de multipliciteiten leidt tot een zeer eenvoudige en efficiënte methode om te detecteren of een bepaald rationaal getal een jumpinggetal is. We geven ook een expliciete beschrijving van de Poincaréreeks van de multiplieridealen geassocieerd aan een ideaal. We bewijzen in het bijzonder dat het een rationale functie is. De resultaten hierboven, breiden we uit tot gemengde multiplieridealen. Meer precies, presenteren we een methode om de jumpingwanden en gemengde multiplieridealen voor een gegeven punt in Rr >0 te berekenen. Dit staat ons toe een algoritme te beschrijven dat de jumpingwanden berekent voor een bepaalde familie van idealen. We veralgemenen ook het begrip van de jumpingdivisor om de multipliciteit te kunnen berekenen op een manier die vergelijkbaar is met de reeds besproken methode.

[CA]: L’objectiu d’aquesta memòria és estudiar els ideals multiplicadors en un anell local dos-dimensional que pot tenir una singularitat racional. Estenent també aquests resultats al cas d’ideals multiplicadors mixts. En particular, els principals resultats són els descrits a continuació. S’introdueix un nou mètode per calcular la clausura antinef d’un divisor donat, generalitzant els resultats de Casas-Alvero [CA00] i Reguera [Reg97]. S’estudia quina informació codificada en un ideal multiplicador determina el següent nombre de salt. Això permet introduir a un algoritme per calcular seqüencialment els números de salt i tota la cadena d’ideals multiplicadors en qualsevol rang desitjat. Es desenvolupa, com a conseqüència del mètode presentat, el concepte de divisor de salt, que permet descriure el salt entre dos ideals multiplicadors consecutius. En particular, s’estudia el divisor de salt minimal i maximal juntament amb la seva unicitat. S’estudien les multiplicitats dels nombres de salt dels ideals m-primaris. La fórmula que es presenta per les multiplicitats porta a un mètode molt simple i eficient per detectar si donat un nombre racional, és un número de salt. També es fa una descripció explícita de la Sèrie de Poincaré dels ideals multiplicadors associats a un ideal qualsevol. Demostrant, en particular, que és una funció racional. Es generalitzen els resultats obtinguts al cas d’ideals multiplicadors mixts. En particular, es presenta un mètode per tal de calcular les parets de salt i ideals multiplicadors mixts d’un punt donat a Rr >0. Això permet introduir un algoritme que calcula les parets de salt per a una determinada família d’ideals. També es generalitza la noció de divisor de salt amb la finalitat de permetre calcular la multiplicitat utilitzant mètodes similars als ja descrits.