Aplicación de los códigos de Gray al estudio de la teoría de la dinámica simbólica de mapas caóticos unimodales

Abstract

La criptografía contemporánea se halla en un proceso de búsqueda de vías alternativas para la consecución de unos mínimos a la hora de proteger tanto el intercambio como el almacenamiento de información. Hasta ahora el nivel de protección alcanzado descansaba sobre la imposibilidad práctica de efectuar, en un tiempo razonable, una cierta cantidad de cálculos. Así ocurre en la criptografía de clave secreta, donde la dificultad con la que se topa el atacante es, en última instancia, la longitud de la clave empleada, y en la criptografía de clave pública, donde se aprovecha la dificultad asociada a la resolución de ciertos problemas matemáticos como la factorización de números grandes y el del logaritmo discreto. En el caso de la criptografía de clave pública, las operaciones involucradas en el cifrado y descifrado de información hacen que el proceso sea excesivamente lento. A esto hay que añadir la posibilidad de que un futuro no demasiado lejano la capacidad de cómputo se vea enormemente incrementada como consecuencia de la aparición del computador cuántico. Es por ello que no resulta peregrina la idea de buscar otras maneras de cifrar información de menor carga computacional y que, frente a las citadas amenazas, proporcionen un nivel de seguridad igual al proporcionado en la actualidad por los criptosistemas clásicos. Es aquí donde entra en juego el caos. Los sistemas caóticos son sistemas dinámicos con una serie de propiedades entre las que destacan la gran sensibilidad respecto a las condiciones iniciales y los parámetros de control que rigen su evolución temporal. En efecto, si se consideran las secuencias temporales generadas a partir de sendas observaciones de un cierto sistema dinámico caótico para dos configuraciones iniciales mínimamente distintas, se comprueba que presentan una divergencia creciente. Es decir, al principio las muestras temporales que vamos obteniendo son casi iguales, a continuación empiezan a diferenciarse para, finalmente, ser totalmente distintas. Lo mismo ocurre si se analiza un sistema dinámico caótico para una misma configuración inicial y diversos valores del parámetro o parámetros que controlan la dinámica o evolución temporal del observable asociado al sistema en cuestión. De esta forma, tanto la configuración inicial como el parámetro o parámetros de control de un sistema caótico pueden ser interpretados como claves de un sistema criptográfico, mientras que la serie temporal a la que lleva la observación del sistema puede ser explotado como vehículo para portar la información de forma subrepticia. En esta línea, la única manera de recuperar la información consistiría en la regeneración del sistema caótico, cosa que sólo se puede lograr si se conocen con gran precisión tanto su configuración inicial como el parámetro o parámetros que controlan su dinámica.

Ahora bien, ¿es factible inferir la configuración inicial y parámetro o parámetros de control del sistema por mero análisis de la serie temporal a la que da lugar el sistema caótico? Pues bien, en lo que sigue se tratará de responder la pregunta para el caso de un tipo específico de sistemas caóticos, los sistemas dinámicos discretos (o mapas) unimodales, a través del estudio de su dinámica simbólica. En el capítulo 1 se presenta una contextualización de este problema, al mismo tiempo que se señalan de forma más prolija los objetivos que se pretenden saldar con este trabajo. En el capítulo 2 se definen detalladamente las funciones matemáticas que van a dar cuerpo a los sistemas dinámicos discretos unimodales aludidos. Además, se explica qué son las secuencias simbólicas y cómo se pueden ordenar. Este orden permitirá establecer una relación directa entre las secuencias simbólicas y las condiciones iniciales de los sistemas dinámicos implicados. Ahora bien, no será hasta el capítulo 3 cuando se estudien las implicaciones de ese orden respecto del parámetro que controla la dinámica de nuestros sistemas. Allí se verá que el orden creciente de las secuencias simbólicas informa de un crecimiento del valor del parámetro de control, lo que significa que la observación de secuencias simbólicas aporta información sobre aquel valor. De esta forma, en los capítulos 3 y 4 se habrá introducido y desarrollado una manera de convertir una serie temporal en una secuencia de símbolos, así como la posibilidad de ordenar esas secuencias en correspondencia con la condición inicial y el parámetro de control. En el capítulo 5 se dejará patente que es viable enunciar el orden ya explicitado en base a los códigos de Gray. Estos códigos son muy conocidos en el ámbito de la teoría de la comunicación y, en nuestro caso, permiten una comprensión más intuitiva del problema que nos ocupa y un proceso de inferencia más liviano e inmediato. En este último sentido, un paso más será la definición del concepto de GON, el cual permite convertir el formato binario tras un código de Gray en un número real en el intervalo [0,1]. Se verá que el crecimiento o decrecimiento de ese número GON va acompañado del crecimiento o decrecimiento de las secuencias simbólicas, de acuerdo al orden definido en el capítulo 3 y 4. En resumidas cuentas, mediante los capítulos referidos se habrá logrado transformar una serie temporal en una secuencia de símbolos, la cual puede ser interpretada como un código de Gray y convertida en un número real entre 0 y 1. Además, se habrá dejado constancia de que al aumentar o disminuir el valor del parámetro de control la serie temporal desencadenada es tal que el GON asociado también aumenta o disminuye. De similar forma, habrá quedado patente que, fijado el parámetro de control, si se modifica la condición inicial se registra un cambio del número GON implicado. Esto, y según se probará mediante simulaciones en el capítulo 5 para el caso del mapa logístico y el mapa de Mandelbrot, permitirá aproximar tanto el valor del parámetro de control como la condición inicial que desencadena una secuencia simbólica dada. En definitiva, se probará la solvencia de la teoría de la dinámica simbólica como herramienta de criptoanálisis y, además, la conveniencia de no emplear mapas caóticos unimodales en el diseño de nuevos criptosistemas.